本书从数的起源讲起，逐步介绍数的发展和新的各种性质及其应用，其中也包括了数学分析、实变函数和高等代数的一些入门知识，最后介绍了几个尚未解决的具有挑战性的问题。本书写法简明易懂，叙述尽量详细，具有很强的可读性。

本书从数的起源讲起，逐步介绍数的发展和新的各种性质及其应用，其中也包括了数学分析、实变函数和高等代数的一些入门知识，最后介绍了几个尚未解决的具有挑战性的问题。本书写法简明易懂，叙述尽量详细，适合于高中以上文化程度的学生，教师，数学爱好者以及数论、常微分方程、分支、混沌问题和3x＋1问题的研究者和有关方面的专家参考使用。

第一章 数是什么以及它是如何产生的？∥1

第二章 集合和对应∥12

2.1 集合及其运算∥12

2.2 有限集合的势∥16

2.3 无限集合的势∥26

2.4 不可数的集合∥33

2.5 无限集的势的比较∥35

第三章 整数的性质∥44

3.1 整数的顺序∥44

3.2 整数的整除性∥46

3.3 最大公因数和最小公倍数∥50

3.4 素数和算数基本定理∥60

3.5 方程式的整数解∥64

3.6 同余式∥81

3.7 欧拉定理和费马小定理∥97

3.8 整数的函数∥105

3.9 同余式的方程∥139

3.10 二次同余式∥167

3.11 原根和指数∥182

第四章 有理数的性质∥206

4.1 用小数表示有理数#206

4.2 有理数的10进小数表示的特性∥213

4.3 循环小数的一个应用∥219

4.4 整系数多项式方程的有理根∥222

4.5 实数和极限∥228

4.6 开集和闭集#236

4.7 隔离性和稠密性∥252

第五章 无理数∥262

5.1 无理数引起的震动和挑战∥262

5.2 一些初等函数值的无理性#265

5.3 对称多项式∥269

5.4 代数数和超越数∥277

第六章 连分数∥283

6.1 什么是连分数∥283

6.2 用连分数表示数∥288

6.3 二次无理数和循环连分数#294

6.4 连分数的应用Ⅰ：集合论中的一个定理∥306

6.5 连分数的应用Ⅱ：不定方程ax±by=c的特解∥307

6.6 连分数的应用Ⅲ：Pell方程∥308

6.7 连分数的应用Ⅳ：把整数表为平方和∥319

第七章 用有理数逼近实数∥329

第八章 实数的光谱：小数部分的性质∥352

8.1 小数部分的分布∥353

8.2 殊途同归——有理数和无理数小数部分的一个共同性质∥367

第九章 复数∥381

9.1 复数及其几何意义∥381

9.2 复数的方根∥393

9.3 群、环和域∥398

9.4 整数的推广：各种复整数∥414

9.5 n=3时的费马问题∥431

9.6 复数的推广∥445

第十章 多项式∥455

10.1 多项式及其基本性质∥455

10.2 代数基本定理和多项式的唯一分解式∥459

10.3 重根和公根∥478

第十一章 多项式的应用∥488

11.1 动力系统奇点的线性稳定性的代数判据∥488

11.2 和Hopf分支有关的代数判据∥499

11.3 插值多项式和最小二乘法∥505

11.4 Logistic映射周期3窗口的参数∥522

11.5 三次方程的解法和判据∥535

11.6 四次多项式零点的完全判据和正定性条件∥544

第十二章 几个著名的数的无理性和超越性∥561

12.1 勒让德多项式和它的性质∥561

12.2 e的无理性∥567

12.3 π的无理性∥568

12.4 ln2的无理性∥572

12.5 ζ（2）的无理性∥573

12.6 最新的记录：ζ（3）的无理性∥581

12.7 e的超越性∥586

12.8 π的超越性∥589

第十三章 数的挑战仍在继续：几个公开问题∥593

13.1 ζ（5），ζ（7），…是有理数还是无理数∥593

13.2 欧拉常数y是有理数还是无理数∥595

13.3 3x+1问题∥602

参考文献∥622

冯贝叶发表论文专著一览∥627

编辑手记∥631