亚伦·桑托斯著的《超级思维(用理工科思维推算世界)》告诉你：世界这么大，你要会推算。

大数据时代必备思维方式！

启动大脑，在大胆的数学谜题中发现非凡创造力！

有趣度直追畅销书《那些古怪又让人忧心的问题》。

在大数据时代，重要的是你的逻辑推算能力！

用一把勺子挖地道越狱，需要多长时间？

跑多快才能瞬间减掉5千克的脂肪？”

淋浴不超过多长时间才能比泡澡更环保？

一片药片需要含有多少个分子才能治病？

“新视野号”探测计划和纽约地铁，哪一个更贵呢？

你遇见灵魂伴侣的机会有多大？

一只猴子需要多长时间才能录入完莎士比亚全集？

你需要跑多快才能跳到和地球自转相同的轨道上去？

橡皮筋拉多长才能弹到月亮上？

……

这些大胆有趣、看似不可能回答的问题，将在《超级思维：用理工科思维推算世界》中被一一解答。

亚伦·桑托斯以量化大师、著名物理学家恩利克·费米的取近似值法为基础，从费米的经典推算案例“芝加哥有多少位钢琴调音师？”开始，通过回答七十个脑洞大开的问题，在《超级思维(用理工科思维推算世界)》中逐步展示了一种超级思维：你所掌握的+推算=你想知道的！

掌握了这种思维方式，通过简单的数学运算，你就能对任何事物（不论大小），尤其是从任何方面都完全无法直接或间接量化的事物进行推算。

在大数据时代，面对庞杂的信息和充满无限可能的未来，一个合乎逻辑且理性的思考过程比最终的答案更受人重视。

难题

1. 芝加哥有多少位钢琴调音师？

2. 全世界有多少人？

3. 人类占到了地球总重量的百分之几？

4. 全美国人民的鞋带连在一起可以绕美国本土多少圈？

5. 要负重一个人，需要多少只蚂蚁？

6. 淋浴不超过多长时间才能比泡澡更环保？

7. 1摩尔甜甜圈的体积占地球的几分之几？

8. 一个人一生中要走多少英里？

9. 人的脑袋上总共有多少根头发？

10. 终其一生一个人的手指甲可以长多长？

11. 要读遍图书馆里所有的书，需要花费多长时间？

12. 全世界的人都来参加的乡村别墅招待会，需要多大的别墅？

13. 一个人的头发可以长多长？

14. “新视野号”探测计划和纽约地铁，哪一个更贵呢？

15. 阿波罗计划用掉的硬币摞起来有多高？

16. 开车去太阳会花费多长时间？

17. 阿姆斯特朗的月球之旅能为他赚到价值多少的常旅客里程？

18. 此时此刻，有多少人正在发生性关系？

19. 此时此刻，有多少人正在经历性高潮？

20. 每天会有多少孩子出生？

21. 每年圣诞节要破坏掉多大面积的森林？

22. 人体内的全部DNA总共有多长？

23. 哈佛大桥的长度是多少个盖迪尔的身高总和？多少个波尔的身高总和？

24. 铁锤汉克的长球和全垒打小跑的总距离是多少英里？

25. 一支笔可以画多长的线？

26. 美国什么时候才能和中国接壤？

27. 需要多少枚硬币才能把许愿井填满？

28. 你遇见灵魂伴侣的概率有多大？

29. 填满总统办公室所需的硬币和总统的实际薪水，哪一个更多？

30. 用包装纸包裹自由女神像需要花费多少钱？

31. 一只猴子需要多长时间才能录入完莎士比亚全集？

32. 吃掉巨无霸棉花糖需要多长时间？

33. 蜘蛛侠每天需要吃多少才能产出相同数量的蜘蛛丝？

34. 多大的太阳能电池板才能为全美国供电？

35. 将全美的高速公路铺满太阳能电池板，能否提供全美国所需的电能？

36. 如果整个北美地区完全依靠太阳能发电，发电系统总共需要多少钱？

37. 要舔到爱心棒棒糖的甜芯，总共需要舔多少口？

38. 全世界的儿童手牵着手站成一排，可以绕地球多少圈？

39. 制作《辛普森一家》耗费的胶片总计有多长？

40. 如果用波士顿港口泡茶，需要多少克茶叶才能泡出好茶？

41. 国际象棋棋盘上的最后一个空格能装多少大米？

42. 所有的网页都打印出来会有多厚？

43. 在西雅图上空建造一把巨型雨伞，总共需要多少钱？

44. 步行到月球需要多长时间？

45. 地球比平底锅还要平？

46. 多少年以后，地球才会完全被坟墓占领？

47. 如何把你装进CD里？

48. 只吃拉面，一年要花多少钱？

49. 一个人能举起多高的楼房？

50. 汉堡和原子弹，谁含有的热量更大？

51. 你最爱的T恤要洗多少次才会全部变成线头？

52. 如何哭出一条河来？

53. 我们需要做多少次弥撒才能吃完“耶稣”？

54. 博学家科拜尔的职业生涯中能够揭发多少位嘉宾？

55. 多少只大灰狼才能吹倒三只小猪的房子？

56. 用一把勺子挖地道越狱，需要多长时间？

57. 减掉1磅脂肪需要舔多少冰？

58. 朱莉和皮特能够相互吸引吗？

59. 一片药片需要含有多少个分子才能治病？

60. 跑多快才能瞬间减掉5千克的脂肪？

61. 月亮和助产士，哪一个对新生儿产生的潮汐力更大？

62. 冷冻并储存大气中过量的二氧化碳需要多大空间？

63. 环法车手在骑车过程中能发多少度电？

64. 你需要跑多快才能跳到和地球自转相同的轨道上去？

65. 如何利用时间膨胀效应让你长生不老？

66. 橡皮筋拉多长才能弹到月亮上？

67. 高尔夫球手老虎伍兹在月球和太阳上能把高尔夫球击出多远？

68. 情人节当天雕刻金银珠宝损耗的金子价值多少？

69. 隆胸和造电脑，哪一个消耗的硅更多？

70. 多少个氦气球才能把一个人悬浮在空中？

1.芝加哥有多少位钢琴调音师？

为了展示前面章节中所描绘的那些方法的威力，我们就从费米的经典范例开始：芝加哥有多少位钢琴调音师？看上去无从下手吧？乍一看，如果不去查询芝加哥当地的黄页，此类问题似乎是无法回答的。但是你很快就会看到，事实上，也没有看上去的那么困难。

该从何处下手呢？那就从我们知道的地方入手吧！芝加哥有多少人口？或许，我们真的不知道，但是，可能我们知道波士顿和底特律以及其他大城市的人口数量。绝大多数的大城市一般都会有3.0×106(300万)的常住人口。有些城市的人口会更多，而有些则更少，不过，大致都在300万左右。即便不够准确，也不会相差太大。即便是利用极限值范围，这个数字也只能是中型城市的50万到超大城市的5000万(5000万这个数字比世界上人口最多的城市的人口数量还大了不少)之间。我们首先要做的就是进行这样的基础预测，但是我们不应对这样的预测进行精细的加工，因为它们毕竟只是近似值，只能给我们一个大概准确的数字。如果需要精准的计算，我们就只能通过网络搜寻精确的结果(在写作本书的时候，据维基百科提供的数据，芝加哥的人口总数是280万)，但是，如果想囫囵吞枣般地快速得到结果，我们就只有取近似值这一条路可走。

接下来，我们可以估算一下，拥有自主房产的居民大概占300A，这些居民之中，大概有5％的人口会买钢琴，而他们的钢琴可能每半年就需要调音一次。我们不需要考虑音乐厅、表演场所等地方，因为这些地方钢琴的数量比那些非专业人士所拥有的钢琴数量要少得多。最后，我们设想一位调音师大概每天要为2架钢琴调音，也就是每年为730架钢琴调音。

问自己

1)芝加哥有多少人口？

2)拥有自主住房的人占多大比例？

3)拥有钢琴的人口占自有住房人口的多大比例？

有益提示

在芝加哥以及其他大型城市，常住人口大约为3.0×106人。

设计公式

在这一部分，我们要设计一个公式，利用它来确定钢琴调音师的数量。我们的做法是把上面所列举的变量编排到一起，使其通过单位对消的方式留下“钢琴调音师”这个结果。为了让方程式更加简单化，我们可以先进行一些较为简单的计算。

1)比如，如果我们把拥有自主住房的人数的分数即住房拥有者/居民(0.3)×总的居民数(3.0×105)，就可以计算出拥有自主住房者的数量(9.0×105)。

2)如果我们把这个数字和拥有自主住房者中拥有钢琴者的比率0.05(钢琴拥有者/拥有自主住房者)再次相乘，我们就会发现大约有4.5×104架钢琴。  3)这些钢琴每年需要调音两次，也就是说每年总共需要9.0×104次调音。

4)最后，我们用每年所需的钢琴调音次数的总数去除以每位调音师每年的调音次数(每位调音师每年调音730次)，就可以计算出钢琴调音师的数量：(每年的调音总次数)/(每位钢琴师每年的调音次数)

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推算世界的超级思维

取近似值——在推算世界之前

假设你坐公交车上班，快要迟到了，不幸的是，由于太过匆忙，你忘了带手表，手机也被压在手提包的最底层。于是，你只好向邻座的女士求助，问她现在几点了。她瞟了一眼腕上的手表，上面显示8点33分46秒，但她却对你说：“八点半。”

她撒谎了吗？她为什么不说“上午8点33分46秒”？难道是她的手表不够精准吗？或者说，她和你一样，也正赶着去上班，所以不愿意在你身上浪费时间？又或者，她知道自己一旦说完这句话，手表上的指针可能已指向8点33分48秒？

无论出于什么样的原因，当人们在处理有关具体数字问题的时候，总是倾向于不要那么精准。对你而言，8点33分46秒和8点31分27秒似乎没什么差别，相反，如果非要精准地说出8点33分46秒的话，可能会既耽误你的时间，也耽误她的时间。无论是整数化的“八点半”，还是在数字的后面加上一个小数点，我们实际上都是在取近似值。对绝大多数人而言，为了节约时间而牺牲一点点精准度其实是一笔很划算的买卖，因为我们都有更重要的工作要做，当然，如果你在美国国家宇航局（NASA）工作，那就另当别论了。但不管怎么说，取近似值这种做法不仅可以为我们节约几秒钟的时间，它还是一个非常有价值的工具，可以帮助我们更好地理解数字。

当你需要拿主意的时候，取近似值的做法就像一个过滤器，能够帮你过滤掉那些比较糟糕的想法。假如你是一位商人，要决定是否生产某种商品；假如你是一位议员，要决定是否投票赞同在墨西哥边界修筑防御工事；假如你是一位物理学家，要决定是否探测希格斯玻色子。总之，无论你是谁，当你需要开展可行性测试的时候，取近似值都应是你的首选。

比如说你是一位政府官员，正在负责一项导弹防御计划。你需要把纳税人的数十亿美金全都投进去，但结果却可能是你根本就没有机会去阻止一场核攻击，那么，对于这样的计划，你真的会立即将其付诸实施吗？一开始，你是不是应该大致地估算一下该计划成功的概率呢？当你提出一项切实可行的计划的时候，是不是也该考虑一下能否再节约一些时间和成本呢？如果你估计这个计划有90%的成功概率，那么，你肯定会将其付诸实施。即便你认为它只有10%的成功概率，你也可能会铤而走险。但是，如果你估计出的结论是该计划成功的可能性甚至比买彩票中奖的概率还要小，那么，你再执着于此事就只能说你是愚蠢透顶了。对于日常生活中所要面临的一些重要决定来说，进行此类的预估是必不可少的，即便我们不具备非常专业的水准，却依然可以进行这样的估算。无论是复杂的导弹防御还是简单的过马路，我们都是片刻不停地在估算，从本质上来说较好的数学基础也只不过是改善了我们估算的精准度而已。  我们养成的取近似值的习惯除了对我们的想法进行过滤，还可以提高我们的数值计算能力，尤其是可以提高我们对极大数字（或极小数字）的理解能力。你可能体会不到10亿和1万亿之间有什么差别，但是经常使用这样的数字却能够帮助你尽快地建立起你对它们的理解，帮助你快速地形成“数值地标”，这种感觉可以引导你去理解一些概念上的东西。举例来说，在我写作本书的时候，10亿这个数字就是世界人口的1/17，而1万亿就是美国国债的1/10。通过简单的数学运算和一点点训练，你就能够对不论大小的任何事物进行估计，而且还会在理解大数字的过程中越发得心应手。

如何取近似值：费米法

取近似值的方法和技巧有很多，但其中最高效的则是费米法。费米法的高效性在于该方法使用起来既简单又便捷，而且对于背景信息的要求还很低。费米法并没有给出明确的操作程序，其通用的步骤就是先进行看似合理的基本假设，然后再利用这些假设推算出你想要的结果。

比如说，我想知道一棵树上有多少片树叶。简便起见，我假设每根树枝上大概有30片树叶，每棵树有10根树枝，那么，每棵树就有30片/根×10根/棵=300片/棵。这个例子足够简单，但它却为复杂的例子提供了最基本的指导思路。

1.从你知道的入手

假设你正在计算建造一栋新的教学楼需要买多少钱的砖，但是由于你不知道一栋教学楼需要多少块砖，因此你无法着手进行计算。但是你可能会知道一块砖长约0.5英尺，而且你还知道一栋教学楼长约100英尺，于是，你就可以计算出一栋教学楼的长度是200块砖。同理，你可以猜出教学楼的高度大约是20英尺。所有的这些猜测都是合理的。可能每一项都会偏差几个百分点，但如果你一开始就要猜测一栋教学楼总共需要多少块砖，那么你的偏差可能就是10个百分点、100个百分点，甚至更离谱。从你最有把握的地方开始取近似值，然后再对你不太有把握的方面进行计算。

2.利用单位对消获取答案

在计算树叶的那个例子里，我知道“每根树枝有多少片树叶”，也知道“每棵树有多少根树枝”。不过，你可能忘了自己在化学课上学过单位对消。事实上，如果你把它看作数字的相乘和相除，这个问题就会变得非常简单了。例如，我可以拿“每根树枝上的树叶”来乘以“每棵树上的树枝”，那么“树枝”就可以被对消，剩下的就是“每棵树上的树叶”。

这是非常简单的因式分解，1除以1等于1，37除以37等于1，树枝除以树枝等于1，任何事除以任何事都等于1。有时候，只需要把一长串的单位都对消掉，就能得到你想要的答案。例如，在“教学楼”这个例子中，你可以列出“每块砖X元×每面墙Y块砖×每座教学楼Z面墙”这样的算式，从而得到“每座教学楼XYZ元”的结果。

3.利用极限值范围

有些事物看起来并不难猜测，但是你却觉得无从下手。例如，你想知道在洛杉矶城区里到底生活着多少位教师，但就是找不到着手点。那好吧，你总该知道，这个数字肯定是大于100的，因为100个老师只能满足两所中等规模的学校。此外，你还应该知道，这个数字肯定小于本市总人口的10%（在本案例中，洛杉矶城区的人口约为100万）。于是，我们就知道了教师数量的上限和下限。或许你无法知道具体的答案到底是什么，但是你肯定知道它肯定不是什么，这样一来，你就可以借助其他的一些信息，利用排除的过程进行逐步排除，最终找到一个最佳的估计值。

4.利用网络

利用网络来查询你不知道的一些具体数字其实一点也不丢人。很多网站（如谷歌、维基百科等）都可以实现这一目的。在本书中，我也经常会查询一些我没有兴趣进行计算的事物（比如，物理常数和政府预算等），它们对于取近似值这个学习过程往往没什么积极的意义。通常情况下，如果不是为了教学，凡是能通过简单的谷歌搜索就能找到的内容，我是不会费心去计算的，你应该也一样。

5.要公正

因为我们各自有各自的偏好，因此，公正可能就是最最重要的一条规则了，尤其是有不确定因素牵涉其中的时候，你必须确保你的计算结果不会受到你对事物“应有样子”的预判断的影响，这是非常重要的。我发现，我经常会强迫自己，让自己的计算结果去迎合那些想当然的想法。在这种情况下，当你需要确定最终结果的时候，最好采用最保守的估计，并且对这个估计的结果保持最大的怀疑。

6.遵守规则，制定数值地标

老话说“熟能生巧”，这在取近似值方面是再适用不过了。练习得越多，就会越擅长，也就更容易识别数字。有朝一日，你就会在遨游数字空间的时候建立起自己的数值地标。例如，当你听到100万和10亿这样的数字的时候，你就会想起100万就是1.5周时间的总秒数，而10亿秒则将近32年。把数字和具体的实际情况放在一起进行参照，就能大大地提高一个人对于大数字的理解能力。

简化数字

让取近似值的过程又快捷又简单的方法就是把数字简化。例如，我们可以把397简单地凑整为400。由于我们只是在取近似值，因此对于我们手头上的工作而言，这两个数字之间的差别其实无足轻重。下面，我给大家列举一下经常用到的一些技巧，这些技巧可以让数学问题变得更加简单。

凑整

就像前面谈到的公交车乘客一样，有时候，我们对于精准的时间并没有什么兴趣，我们在乎的只是对自身而言具有重要意义的东西。本书的绝大部分内容，都会涉及两个有效数字。我们可以把任何一个187变成190，也可以把任何一个7432变成7400。这不仅可以让数学计算变得更简单，还可以节约大把的时间。

指数计数法

很多人都喜欢把数字写成或听成100万或10亿，因为这样“它们才会有意义”。但是我们真的理解它们的意义吗？举例来说，如果能够拥有100万或者10亿美金，我们绝大多数人都会感到非常高兴。拿100万美金来说，如果每天消费1000美金的话，我们需要将近3年的时间才能把它花完。10亿美金呢？6年？30年？还是2740年？没错，如果我们有10亿美金，每天消费1000美金的话，从耶稣时代一直花到现在也花不完，因为10亿是100万的1000倍。

我们对于极大数字（或极小数字）的印象都不是特别明晰，但是，指数计数法却可以让我们毫不费力地把这个问题想明白。在指数计数法中，数字会写作小数，在小数点之前只留一个非零位的数字，再乘以10的若干次幂。幂是告诉我们如果我们要把这个数字完全写出来，小数点的后面还有多少个数位的空间，如果你想把小数点向右移动，把所有的数位空间全部都用完，你就需要按照幂次所示的数字，在小数点的前面补全所有的0。

例如，4.1×1015就可以把小数点向右挪一位，得到的数字是41，然后再加上14个0，你得到的数字就是41的后面跟着14个0。在6.234×1053这个数字中，我们可以把小数点向右挪3位，然后在6234的后面加上50个0。毫无疑问，6.234×1053这种表达方式比623，400，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000更容易理解。对于负数幂，你则需要把小数点向左移位，这样写出来的就是0的后面有一个小数点，小数点的后面是“一定量的幂的负数”。例如，3.23×10-3就是小数点后面有（3—1）2个0，然后再续上323，即0.00323。

指数计数法缩减了书写空间，更有利于阅读和识记。需要注意的是，在有些情况下，有些数字只能以指数计数法来书写，否则就难以操作，甚至不可能实现。例如，我们要把3.8×105767415这个数印刷在一本书当中，如果我们想把这个数后面的0全部印出来的话，仅仅这个数字就要占到5000页。

凑整为大数序列

最小的“大数序列”是指10的幂。例如，0.00001、100和1，000，000都是10的整数次幂。用指数计数法来表示，分别是10-5、102和106。正确地使用指数计数，可以帮助数字运算变得更加简单，因为你可以通过对指数进行相加而得到你想要的乘积。例如，102×105=107，102×10-5=10-3  ……

最后的提醒

在正式开始之前，我们郑重声明：这不是一本只提供答案的宝典。我无法保证所有的答案都是正确的。本书是关于方法的，是关于如何利用数字来对一些事物进行计算的。如果你只是想找到一些所谓的通关秘笈，就请不要购买这本书。如果你买了，从中学不到什么东西，我也会觉得很难过。在读完本书后，如果你能够找到自己需要解决的问题的近似答案，那么，本书才算是完成了它的使命。事实上，你的表现甚至可能会比我在本书中进行估算时的表现更好。毕竟，解决一个数学问题方法不止一个。最后，如果你的最终表现比我在书中描写的更为出色，我会觉得，我写这本书真的很有价值。