呈现在读者面前的《数学在19世纪的发展(第2卷)》是本讲义的第二卷，也是它的最后一卷，完成于1915年到1919年期间，那正是广义相对论吸引着全球数学家和物理学家的年代。F. 克莱因，作为一个七十岁高龄的老人，以异乎寻常的精力投入到这一新理论的研究之中。他把数学的史前史写成了三章，从数学上来讲，狭义相对论可以说就是在Lorentz变换群下的不变量理论，而广义相对论则可说是在一般点变换群下的不变量理论。

《数学在19世纪的发展(第2卷)》是F. 克莱因的名著《数学在19世纪的发展》的第二卷。与第一卷有所不同，它是专门讲述不变量理论以及相对论的数学源头，即相对论的数学史前史的，其中也包括了克莱因本人的一些研究成果。从数学上来讲，狭义相对论可以说就是在Lorentz变换群下的不变量理论，而广义相对论则可说是在一般点变换群下的不变量理论。在这个意义上，相对论与克莱因的《Erlangen纲领》在思想上是一脉相承的。相对论与19世纪数学在思想上与历史上的联系第一次在本书中得到了详细的论述。

《数学在19世纪的发展(第2卷)》不再是按时间发展的顺序讲述，而是将不变量理论及其在物理学中的应用归拢到一起做系统的讲述。时至今日，它仍是学习不变量理论及其应用的一本极好的教材，对学习数学和物理的学生和教师都有极高的参考价值，也适合对数学及科学思想文化发展感兴趣的读者阅读。

《数学翻译丛书》序

编者前言

引言

第一章 线性不变量理论的基本概念初步

 A 一般线性不变量理论概述

 1 线性代换．不变量的概念

 2 Graβmann层量

 3 关于我们的量丛(特别是Graβmann层量)的几何意义

 4 二次型及其不变量

 5 关于二次型的等价

 6 由一个二次型确定仿射度量

 7 关于含同步变量的双线性型和含逆步变量的双线性型

 B 线性不变量理论的意义随向量分析的引入而导致的扩充

 1 关于Erlangen纲领

 2 对三维空间的特殊考察

 3 四元数插话

 4 过渡到向量代数和张量代数的基本概念

 5 向量分析(张量分析)的引入

 6 向量学中的不变量理论表述

 7 关于在Maxwell的Treatise(通论)之后向量学在各国的发展

 第一章注释

第二章 力学与数学物理中的狭义相对论

 A 经典天体力学与galilei-newton群的相对论

 1 从n体问题的微分方程看群的定义和意义

 2 关于经典力学n体问题的10个通积分

 B Maxwell电动力学和Lorentz群的相对论

 Ⅰ 导论

 1 自由以太的Maxwell方程组

 2 正交形式下的Lorentz群

 3 返回到x，y，z，t

 4 谈电学和原子的概念在Maxwell的通论发表(1873)后的发展

 5 关于20世纪以前对Maxwell理论的数学处理

 6 关于Lorentz群的发展过程

 7 关于新学说的进一步的传播．1911年及1909年以后的发展

 Ⅱ 在正交形式下Lorentz群的处理

 1 相应四维分析纲要

 2 再谈四元数

 3 关于用积分关系式来代替Maxwell方程组

 4 四维势以及与之相关的变分定理

 5 我们的四维分析在具体问题上的应用举例

 6 Lorentz群的相对论

 Ⅲ 回归Lorentz群的实数关系

 1 导论

 2 几何的辅助概念

 3 借助进一步的几何运算完善我们的物理世界图像

 4 关于偏微分方程□的求积简史

 5 初等光学，特别是几何光学，作为Maxwell方程组的第一级近似

 C 关于力学与Lorentz群的相对论的相适应

 1 从Lorentz群向Galilei-Newton群的极限过渡

 2 单个质点的动力学

 3 谈刚体的理论

 结束语

 第二章注释

第三章 以二次微分形式为基础的解析点变换群

 A 经典力学的一般Lagrange方程

 引言

 1 Lagrange方程及其G∞群的引入

 2 Lagrange方程的G∞群和Galilei-Newton群.Copernicus坐标系和Ptolemy坐标系

 3 简化变分原理，过渡到几何

 B 建立在Gauβ的《Disquisitiones circa superficies curvas(曲面理论的一般研究)》的基础之上的二维流形的内蕴几何学

 1 概述

 2 关于测地线的微分方程

 3 在不变量理论框架中gaub曲面论中几个最简单的定理和概念

 4 谈gauβ全曲率概念的引入

 5 关于在任意给定的ds2下全曲率k的解析表示

 6 Riemann公式的证明以及几种相应的计算

 7 关于两个二元ds2之间的等价．全曲率为常量时的详情

 C n维Riemann流形 Ⅰ．形式基础

 1 历史简述

 2 只有一阶微分的微分形式

 3 关于Riemann全曲率的开场白

 4 测地线方程以及与之相关的不变量

 5 Riemann的[ω]

 6 Riemann全曲率的计算公式

 D n维Riemann流形 Ⅱ．正规坐标．几何意义

 1 Riemann正规坐标及其所属的ds2的结构

 2 限制到o的最近的邻域．KR的一般几何意义

 3 位置不变量k的几何意义

 4 最简单的方向不变量的几何意义．过渡到平均曲率K(n-1)

 5 在零全曲率空间或定常全曲率空间中的等价问题

 E Riemann之后的若干进一步发展

 1 1870年前后出现的一些人物的个性以及他们的后续影响

 2 Beltrami的构造不变量的方法

 3 Lipschitz与Christoffel：通过微分和消元法，特别是通过“逆步微分”构造不变量

 4 谈Christoffel在1869年的论文

 5 用无限小变换表征不变量(Lie)

 6 关于一任意张量tik的向量散度

 结束语

 第三章注释

附录Ⅰ Dr. Felix Klein：对新近以来几何学研究的比较考察

附录Ⅱ Bernhard Riemann：单复变量函数一般理论基础

附录Ⅲ Bernhard Riemann：论奠定几何学基础之假设

附录Ⅳ Bernhard Riemann：对试图回答最著名的巴黎科学院所提出问题的数学评述

人名索引

专业名词索引

译后记