在这本《有限域及其应用》里，编者冯克勤、廖群英在第一部分先给出全部有限域，并且介绍有限域的各种奇妙的性质。在第二部分讲述有限域的一些应用。这是一本通俗读物，爱好数学的中学生可以读懂本书的大部分内容。此外，冯克勤、廖群英所著的《有限域及其应用》还需要线性代数的初步知识，主要是向量空间概念，矩阵的运算和域上解线性方程组的知识。除了“域”之外，我们还使用了抽象代数中另两个术语：“群”和“环”。这些术语并不深奥，我们主要涉及很简单的交换群、多项式环和有限域。问题的叙述和证明都尽量做得通俗，并举出例子加以说明。

续编说明/1

编写说明/3

引言/5

理论部分

一 来自初等数论的有限域/1

 1.1 整除性和同余性/1

 习题/14

 1.2 P元有限域/15

 习题/30

二 一般有限域/31

 2.1 域上的多项式环/31

 习题/43

 2.2 构作一般有限域/43

 习题/55

三 有限域上的函数/57

 3.1 广义布尔函数/57

 习题/61

 3.2 幂级数/61

 习题/78

 3.3 加法特征和乘法特征/79

 习题/92

 3.4 高斯和与雅可比和/92

 习题/104

四 有限域上的几何/106

 4.1 有限仿射几何/107

 习题/117

 4.2 有限射影几何/118

 习题/128

 4.3 平面仿射曲线和平面射影曲线/128

 习题/135

五 有限域中解方程/136

 5.1 谢瓦莱-瓦宁定理:解的存在性/136

 习题/150

 5.2 多元二次方程/150

 习题/167

 5.3 费马曲线和阿廷-施莱尔曲线/168

 习题/179

 5.4 韦依定理/179

 习题/189

应用部分

六 组合设计/191

 6.1 正交拉丁方/191

 习题/205

 6.2 区组设计/205

 习题/212

 6.3 阿达玛方阵/212

 习题/218

七 纠错码/219

 7.1 纠错码/220

 习题/229

 7.2 线性码/230

 习题/238

 7.3 汉明码、多项式码和里德-马勒二元线性码/240

 习题/255

 7.4 循环码/256

 习题/274

八 密码和信息安全/275

 8.1 凯撒大帝的密码/277

 8.2 M序列与图论——周游世界和一笔画/282

 习题/293

 8.3 构作M序列(并圈方法)/293

 习题/303

 8.4 公钥体制/303

 8.5 密钥的分配、更换和共享/315

 8.6 椭圆曲线算法/329

结束语/339