本书结合Atiyah-Singer 指标理论方面近四十年来涌现的新思想、新技术，以凝练的语言，对流形上几何、拓扑与分析中若干经典结果，如示性类的陈-Weil理论，等变上同调的Bott 留数公式及更一般的Berline-Vergne 局部化公式，Gauss-Bonnet-陈定理， Poincaré-Hopf 指标公式, Morse 不等式，等等，给出了新颖而“现代”的系统介绍和处理。此外，本书还介绍了流形上的热方程理论，并利用热方程方法证明了Hodge定理和Lefschetz不动点定理，给出了de Rham-Hodge 算子，Hirzebruch 符号差算子及Dirac 算子的局部指标公式；介绍了Quillen 的超联络理论，并利用该理论给出了Gauss-Bonnet-陈定理的一个新的证明；还从向量丛上一般联络出发，几何地构造了向量丛的Euler形式与Thom形式。 本书旨在向国内的青年学子和数学工作者介绍Atiyah-Singer 指标理论的一些基础知识，展示该理论的基本思想与方法在流形的几何、拓扑与分析中某些问题上的重要应用；可作为数学系研究生的教学参考资料，也可供相关专业科研人员学习使用。