由刘青编著的《代数几何和算术曲线(牛津大学研究生教材)》首先用概型语言介绍代数几何，然后通过对算术代数曲面和代数曲线约化理论的探讨，来介绍一般的理论。

《牛津大学研究生教材：代数几何和算术曲线》的雏形是分发给参加算术曲面理论研究生学习班的讲义。该讲义主要介绍算术曲线的几何基础，及其稳定约化理论。尽管这些理论在最近的学科发展中极具重要性，并在数论方面的影响不断增长。然而遗憾的是，现在还没有任何文献，以一种系统的方式，让学生或非本专业数学工作者能接受的深度，来介绍这些理论。

《牛津大学研究生教材：代数几何和算术曲线》的目的是把这些当今在算术几何中，经典且不可或缺的理论结合起来，从而易于让更多的人理解这些理论。

1 交换代数的若干预备知识

1.1 张量积

1.1.1 模的张量积

1.1.2 张量积的右正合性

1.1.3 代数的张量积

1.2 平坦性

1.2.1 左正合性：平坦性

1.2.2 平坦性的局部性质

1.2.3 忠实平坦性

1.3 形式完备化

1.3.1 逆向极限与完备化

1.3.2 Anin-Rees引理及其应用

1.3.3 Noether局部环情形

2 概型的一般性质

2.1 环的谱

2.1.1 Zariski拓扑

2.1.2 代数集

2.2 赋环拓扑空间

2.2.1 层

2.2.2 赋环拓扑空间

2.3 概型

2.3.1 概型的定义和例子

2.3.2 概型之间的态射

2.3.3 射影概型

2.3.4 Noether概型、代数簇

2.4 既约概型与整概型

2.4.1 既约概型

2.4.2 不可约分支

2.4.3 整概型

2.5 维数

2.5.1 概型的维数

2.5.2 Noether概型的情形

2.5.3 代数簇的维数

3 态射与基变换

3.1 基变换技巧

3.1.1 纤维积

3.1.2 基变换

3.2 对代数簇的应用

3.2.1 有限型态射

3.2.2 代数簇与基域扩张

3.2.3 取值于基域扩张的点

3.2.4 Frobunius

3.3 态射的若干整体性质

3.3.1 分离态射

3.3.2 正常态射

3.3.3 射影态射

4 一些局部性质

4.1 正规概型

4.1.1 正规概型与正则函数的扩张

4.1.2 正规化

4.2 正则概型

4.2.1 概型的切空间

4.2.2 正则概型与Jacobi准则

4.3 平坦态射与光滑态射

4.3.1 平坦态射

4.3.2 平展态射

4.3.3 光滑态射

4.4 Zariski主定理及其应用

5 凝聚层与Cech上同调

5.1 概型上的凝聚层

5.1.1 模层

5.1.2 仿射概型上的逆凝聚层

5.1.3 凝聚层

5.1.4 射影概型上的逆凝聚层

5.2 Cech上同调

5.2.1 可微模与取值于层的上同调

5.2.2 分离概型上的Cech上同调

5.2.3 高阶正项与平坦基变换

5.3 射影概型的上同调

5.3.1 正项定理

5.3.2 连通性原理

5.3.3 纤维的上同调

6 微分层

6.1 Kahler微分

6.1.1 相对微分形式模

6.1.2 (1次)相对微分层

6.2 光滑态射的微分研究

6.2.1 光滑准则

6.2.2 局部结构与截面提升

6.3 局部完全交

6.3.1 正则浸入

6.3.2 局部完全交

6.4 对偶理论

6.4.1 行列式

6.4.2 典范层

6.4.3 Grothendieck对偶

7 除子及其对曲线的应用

7.1 Cartier’除子

7.1.1 亚纯函数

7.1.2 Cartier’除子

7.1.3 Cartier。除子的逆像

7.2 Weil除子

7.2.1 余维为l的代数闭链

7.2.2 Van der Waerden纯性定理

7.3 Riemann—Rock定理

7.3.1 除子的次数

7.3.2 射影曲线的Riemann—Rock定理

7.4 代数曲线

7.4.小亏格曲线的分类

7.4.2 Hurwitz公式

7.4.3 超椭圆曲线

7.4.4 群概型与Picard簇

7.5 奇异曲线、pic(x)的结构

8 曲面的双有理几何

8.1 爆破

8.1.1 定义与基本性质

8.1.2 爆破的普适性质

8.1.3 爆破与双有理态射

8.1.4 通过涨开点正规化曲线

8.2 优概型

8.2.1 泛链式概型与维数公式

8.2.2 Cohen-Macaulay环

8.2.3 优概型

8.3 纤维化曲面

8.3.1 纤维的性质

8.3.2 赋值与纤维化曲面的双有理类

8.3.3 收缩

8.3.4 奇点解消

9 正则曲面

9.1 正则曲面上的相交理论

9.1.1 局部交

9.1.2 纤维化曲面上的交

9.1.3 与水平除子做交、附加公式

9.2 交与态射

9.2.1 分解定理

9.1.2 投射公式

9.2.3 双有理态射与Picard群

9.2.4 嵌入消解

9.3 极小曲面

9.3.1 例外除子与Castelnuovo准则

9.3.2 相对极小曲面

9.3.3 极小正则模型的存在性

9.3.4 极小奇点解消与极小嵌入解消

9.4 对收缩的应用；典范模型

9.4.1 Artin可缩性准则

9.4.2 切空间计算

9.4.3 典范模型

9.4.4 Weierstrass模型与椭圆曲线的正则模型

10 代数曲线的约化

10.1 模型与约化

10.1.1 代数曲线的模型

10.1.2 约化

10.1.3 约化映射

10.1.4 图

10.2 椭圆曲线的约化

10.2.1 极小正则模型的约化

10.2.2 椭圆曲线的Neron模型

10.2.3 势半稳定约化 

10.3 代数曲线的稳定约化

10.3.1 稳定曲线

10.3.2 稳定约化

10.3.3 稳定模型存在的若干充分条件

10.4 Deligne-Mumford定理

10.4.1 基概型上的简化

10.4.3 Artin—Winters的证明

10.4.3 势稳定约化计算的例子

参考文献

索引