以流形为研究对象的几何学常称为现代几何学。20世纪以来，现代几何学的发展取得了辉煌的成就，这些成就部分地反映在这本《流形与几何初步》中。全书共五章，第1章介绍流形的基本概念；第2章在流形上引入微积分；后三章分别从几何、拓扑和整体分析的角度进一步讨论一些重要的结果。作者梅加强多年来在南京大学数学系为高年级本科生和研究生讲授流形与几何的基础课程。本书是根据作者授课的讲义修改而成。

《流形与几何初步》是微分流形和现代几何的一本入门教材。它从微分流形的定义出发，介绍了现代几何学研究中的各种基本概念和技巧。本书前两章为基础内容，主要介绍流形上的微积分并证明Stokes积分公式；后三章分别从几何、拓扑和整体分析三个方面阐述现代几何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chem公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指标公式等。本书内容丰富、语言简洁，书中含有详细的例子和练习。凡具有微积分、线性代数、点集拓扑以及泛函分析基础的读者均可阅读本书。

《流形与几何初步》可作为综合性大学、师范院校数学系高年级本科生和研究生选修课教材，也可供数学、物理工作者参考。本书由梅加强编著。

前言

第1章 微分流形

 1.1 流形的定义和例子

 1.2 子流形

 1.3 单位分解

 1.4 切空间和切映射

 1.5 Sard定理及应用

 1.6 Lie群初步

第2章 流形上的微积分

 2.1 切丛和切向量场

 2.2 丁积性定理及应用

 2.3 向量丛和纤维丛

 2.4 张量丛

 2.5 微分形式

 2.6 带边流形

 2.7 Stokes积分公式

第3章 流形的几何

 3.1 度量回顾

 3.2 联络

 3.3 曲率

 3.4 联络和曲率的计算

3.4.1 活动标架法

3.4.2 正规坐标

 3.5 子流形几何

3.5.1 第二基本形式

3.5.2 活动标架法

3.5.3 极小子流形

3.5.4 黎曼淹没

 3.6 齐性空间

3.6.1 Lie群和不变度量

3.6.2 齐性空间

3.6.3 对称空间

 3.7 主丛及其联络

 3.8 Gauss-Bonnet-Chern公式

3.8.1 向量场的指标

3.8.2 单位球丛上的计算

 3.9 Chern-Weil理论

第4章 流形的上同调

 4.1 Poincard引理

4.1.1 Poincar6引理

4.1.2 映射度回顾

 4.2 de Rham上同调群的计算

4.2.1 群作用与上同调

4.2.2 Mayer-Vietoris正合序列

 4.3 Thom类和相交数

4.3.1 Trhom类

4.3.2 相交数

 4.4 Hodge理论

4.4.1 Hodge星算子

4.4.2 Bochner技巧

 4.5 Dirac算子

4.5.1 Clifford代数

4.5.2 Clifford丛

第5章 流形上的椭圆算子

 5.1 Sobolev空间

 5.2 Hodge定理的证明

 5.3 热方程与热核

 5.4 迹与指标公式

 5.5 指标公式的证明

5.5.1 谐振子

5.5.2 Atiyah-Singer指标定理

参考文献

索引