通过明确而有说服力的分析，本书提出了一种与通常看法极不一样的观点：各种数学对象之间关系的推理法则与社会人文关系的推理法则在本质上并无二致。通过把数学牢固地植根于人文氛围之中，德夫林作出了一项卓越贡献，有助于我们理解什么是数学的本质，以及我们何以能如此不可思议地熟练运用它。

究竟是什么东西造就了人类？对此自然之谜抱有兴趣者不可不读本书。

如果人们生来就有“数的本能”，如同他们具有“语言天赋”一样（近来有许多研究者持此看法），那么何以不是人人都能搞数学呢？数学家、科普作家基思·德夫林在他的《数学犹聊天——人人都有数学基因》一书中，对此问题进行了正、反两方面的阐述。在书中，作者说明了我们所固有的创造模式的能力如何帮助我们进行数学演绎推理。通过揭示为什么有人厌恶数学，有人觉得它很难，也有少数几个杰出的人在这门学科上超人一等，作者提出了能够帮助我们每个人提高数学能力的一些建议。对任何一个迷恋数学、憎恨数学或者被数学吓倒的人，这都是一本必读之书。

前言 鹰的翅膀

第一章 数学头脑

第二章 由数开头

第三章 人人都计数

第四章 “数学”这玩意儿究竟是什么

第五章 数学家的大脑与众不同吗

第六章 生来会说话

第七章 逐渐成长，学会了说话的大脑

第八章 出乎我们意料之外

第九章 魔鬼在哪里藏身，数学家就在哪里工作

第十章 未选之路

尾声 如何宣传肥皂剧

附录 日常语言中的潜在结构

参考文献

婴儿会计数吗？

许多研究表明，皮亚杰关于数的意识的结论是错误的。即使是只有两岁的幼儿也具有发展良好的数的意识，以及数量守恒的观念。那么，对建立在这一基础上的、构成主义者的假设，即认为此类数值能力是通过观察而取得的又该如何看呢？也许幼儿是在他出生后的头两年里学会这些能力的吧。

20世纪80年代与90年代完成的一系列重要实验证明，那个假设也不成立。这些实验中的第一个是1980年由宾夕法尼亚大学的斯塔基（Prentice Starkey）与他的同事们完成的。被测试的对象是出生16周到30周之间的婴儿。他们面临的挑战是找到一种办法来检测如此幼小的婴儿在想些什么。

实验者寄希望于测量婴儿的关注时间。任何一对父母都知道，任何新奇的东西（比如一个新玩具）都会暂时吸引小孩子的注意力。然后这种关注就开始衰退，或者由别的新奇东西来取代。斯塔基与其同事利用录像技术，通过记录婴儿的注视，来跟踪他的注意力。婴儿一般坐在妈妈的膝上，面对着实验装置。

在一次实验中，让婴儿观看投射在屏幕上的幻灯片。一张幻灯片上显示并排靠着的两个点。当图片第一次出现时，它立刻引起了婴儿的注意，他的目光一动不动地对它注视了片刻。当他的关注开始衰退，目光游移不定时，换上一张新的与第一张略有差异的幻灯片。婴儿只是简单地对它瞥了一眼。幻灯片又换了，每张新的幻灯片同前一张都只有极微小的差别。每次重复这一过程时，婴儿被重新唤起的关注（用录像带记录下的时间）变得越来越简短。然后，在事先毫无提示的情况下，幻灯片上出现了三个点，而不是两个。婴儿的兴趣立即被激发，他对图片注视了更长的时间（在一轮实验中，记录下来的时间为1.9至2.5秒）。婴儿非常清楚地察觉到了从两点到三点的变化。另一组婴儿则从逆序放映的幻灯片中察觉到了从三点到两点的变化。

后来，马里兰大学的安特尔（Sue Ellen Antell）与基廷（Daniel Keating）又用同样办法证明，出生仅有几天的婴儿也能区别2与3。

顺便提一下，在用不同排放方式来显示点数或代之以其他物体的图形时，上述两组实验者都力求做到排除任何除了数以外的可能引起婴儿关注的因素。不论他们的图片上显示的是什么东西，也不论这些东西怎么排放，引起婴儿兴趣的都是数的变化。结论看来十分明确：出生仅有几天的婴儿就能分辨两个物体和三个物体的集合。

在由巴黎认知科学与语言心理学实验室的比耶利亚茨（Ranka Bijeljac）女士及其同事们所做的另一个实验中，出生仅一四天的婴儿接受了听力刺激测试，以代替视觉测试。由于这种刺激不是可见的，婴儿的注意力不能以关注时间来测量。实验者代之以利用婴儿的吮吸反应来测算他们的注意力。给每个婴儿一只奶嘴，奶嘴连到压力传感器上，再连上计算机。当婴儿吮吸奶嘴时，计算机会传输一个无意义的、音节数固定的单词。典型的三音节单词可以是“akiba”或“bugaloo”。

一开始，每个婴儿都对吮吸奶嘴会发出声音表现出很浓厚的兴趣，于是吸得很起劲。不过，过了一会儿以后，兴趣减弱了，吮吸的速度也慢下来了。检测到速度降低的计算机立即发出指令，改为传输只有两个音节的单词。婴儿立即开始又一次起劲地吮吸了。

不过，从一个三音节单词改为另一个三音节单词，或者从一个双音节单词改为另一个双音节单词，却不能使婴儿产生同样程度的兴趣。改变每个单词的传输速度也同样不能收效。引起反应的只能是音节数。

巴黎实验证明，出生四天以上的婴儿已经能够区别2与3。它也同样证明了，即使是在如此幼小的年纪，婴儿们也能在一连串声音中认出音节结构，并能通过内在与下意识的方式，察觉出音节数的不同。

既然极其幼小的婴儿就能够分辨2件与3件物品，那么这种数的意识能否扩展到抽象意义上的2与3呢？为了测试这一点，人们必须证明，婴儿能发现诸如两只苹果与两个点，或者三粒弹子与三声铃响这样的集合之间的类似点。但对于不会说话的小宝宝，如何能做到这点呢？引人注目的是，10年前，斯塔基与他的同事们想出了一个办法来进行这样的测试。

研究者让一些6到8个月大的婴儿坐到两台幻灯机前。左面的一台放映出一幅图形，上面有随意放置的三件物品，右面的一台则放映出一幅同样随意放置的两件物品的图形。与此同时，两个屏幕的中间安置了一台喇叭，正在播放一系列击鼓声。藏在暗处的录像机记录下婴儿的眼神，以测量他们的注意力。

开始时，每个宝宝都对两幅图不断查看，在三件物品的图形上耗时较多，因为它比较复杂。但是在经过最初的几次尝试后，出现了一个令人注意的模式，婴儿会花更多时间去观看物品数同他们听到的鼓声数相匹配的图形。鼓声敲两下时，宝宝会用较多时间观看有两件物品的图形；而当鼓声敲三下时，他们对三件物品的图形更为关注。

斯塔基与其研究同事们并不认为他们的测试对象有着很好的数的意识。婴儿们的行为有可能是一种内在的神经反应。由听到两下鼓声引起的体内神经作用触发了一种特定模式，使婴儿更愿意观看有两件物品的图形。这并不意味着婴儿具有完善的数的概念。不过它确实是一种关于数的概念。这告诉我们：不管我们如何估量自己的数学能力，我们全都拥有一种内在的数的意识。这是我们生来就有的。

也许我们生来还会做加法——至少在黑猩猩能做的很小范围内。

婴儿会做加法吗？

婴儿会做加法吗？婴儿是否知道1+1=2或2+1=3？1972年，美国心理学家温（Karen wynn）女士的一项宣告使世界为之震惊。她宣称：4个月大的婴儿就能（用一种天赋的、无意识的方式）做简单的加法与减法。如同一切实施在婴儿身上的实验一样，主要的挑战在于找到一种办法，来发现在如此幼小的心灵中究竟有些什么东西正在发生。

温利用了婴儿的“世界理应如此”的意识。即使是极小的宝宝，在他们遇到明显违反物理定律的事物时，也会感到困惑。比如，当有一样东西悬在半空中而没有可见的支撑物时，立即就会引来专注的目光。

温让她的小测试对象们坐在一个小木偶戏台前。实验者的手从戏台一侧伸出来，把一只米老鼠木偶放到舞台上。然后一块幕布升起来，遮住了木偶。实验者的手再度出现，拿着第二只米老鼠，并把它放到幕布后。随后幕布落下。有时，婴儿们会看到舞台上有两只米老鼠。另一些时候，幕布落下时只露出一只米老鼠，另一只通过戏台上的暗门被悄悄地拿走了。通过用录像带记录下婴儿们的反应，温可以测算宝宝们注视舞台的时间。平均下来，当落下幕布时只露出一只木偶而不是两只木偶时，宝宝们要整整多注视一秒钟。

对此，最明显的结论是，当孩子们看到两只木偶被一个接一个地放到舞台上，而并没有一只被拿掉时，他们会指望最后能看到两只木偶。他们“知道”1+1=2，而当看到错误的法则1+1=1的现象出现时，他们会感到惊奇。

如果幕布落下时，舞台上出现三只米老鼠，被测试者的注视时间也较长。显然，他们“知道”1+1既不等于1，也不等于3，而是正好等于2。

婴儿们似乎也知道减法。为了测试这一点，表演开始时舞台上放着两只木偶，然后升起幕布，让婴儿们看到有一只木偶被拿走了。当幕布再次落下，台上出现两只木偶（表明2-1=2）时，婴儿们目不转睛地注视着舞台，比起舞台上只剩一只木偶（表明2-1=1）的注视时间足足要多出三秒钟。

为了排除在温的实验中婴儿们的表现依赖的是视觉记忆而不是数这种可能性，法国心理学家克什兰（Etienne Koechlin）重复了实验过程，但这次是把东西放在缓慢移动的转桌上。舞台上发生的等速转动足以防止婴儿把他们所看到的事物转化为固定不变的心理形象，他们无法预知幕布落下时能看到的景象。尽管如此，一旦转桌上所放东西的个数与应有的数目不符时，婴儿们仍然表现出程度大得多的关注。

有趣的是，在婴儿降生的这个现实世界的所有要素中，数似乎是首屈一指的，远远凌驾于物理形态或外表之上。美国心理学家西蒙（Tony Simon）及其同事在20世纪90年代初对此进行了证实，他们采用的方法是温的实验的变化形式。当一个婴儿看到两只木偶在幕布后消失，而幕布落下时露出两只红球时，他并不感到惊讶；但如果只露出一只红球，他就会感到困惑。显然一件物品能变成另一件物品的观念比起数的改变来要更容易接受。这为皮亚杰的物质不灭概念提供了一种全新的、完全意想不到的解释。

物质不灭这种怪异观点通过另一个实验的结果得到了进一步肯定。把一个不到12个月大的婴儿放到幕布前，一只红球和一只蓝拨浪鼓不断地交替出现在幕布后面。如果这个婴儿没有同时看到两样东西的话，那么当幕布落下，而他只看到一样东西（不论是球还是拨浪鼓）时，他并无惊异之色。看来，他非常乐于接受这样一种看法：有一样东西，一会儿看上去像是红球，一会儿又像是蓝拨浪鼓。只有对年龄在一岁或一岁以上的婴儿，两种不同的外表才意味着可能存在两样东西。在婴儿生命中的第一年，数显然是比颜色、形状、外表重要得多的“不变量”。 顺便说一下，小宝宝们的这种不平常的算术能力严格局限于对数1，2，3的简单加减。小于一岁的婴儿似乎不能区别四件、五件或六件物品。

下一章，我们将讨论成年人类所独有的、超越3的数的世界。但在此之前，让我们来关心一下一小部分人，他们必须生活在这个严重依赖数的社会中，但他们对什么是数却不具备任何意识。

P30-35

鹰的翅膀

“鹰”已着陆

尽管存在着天电干扰，从正在月球表面上空的宇宙飞船“鹰”上传来的声音仍然可以听得清清楚楚。来自美国得克萨斯州休斯顿市约翰逊宇航中心的另一个声音可以听得更清楚一些，当然这毫不奇怪。双方的语句都很简短、有效、实在，丝毫不带感情色彩。

当阿姆斯特朗（Neil Armstrong）与奥尔德林（Buzz Aldrin）登上月球时，我还是个年方22岁的研究生。时至今日，30年过去了，每当我重温这一降落的最后几分钟的记录时，我都会感到深深的激动，就像是阿姆斯特朗正指挥着登月舱（乘务员们命名它为“鹰”），到达人类第一次在另一个星球上驻足的地点。

为期十年的把人送上月球（还得将他活着送回来）的努力至此登峰造极，然而实际着陆并不意味着取得了大大超越以前各次阿波罗计划任务的重大技术进步。用阿姆斯特朗自己的话来说，当他迈出历史性的一步，首次踏上月球表面时，阿波罗11号的登月，“对（一个）人来说，只是一小步。”但事件的象征意义之大不言而喻。正如阿姆斯特朗接着所说的：“是人类迈出的一大步。”尽管它经常被称为科学及工程学的一项重大成就（事实的确如此），我却总是感到，阿波罗11号完成的使命更像是人类精神的胜利，也是地球表面上唯有人类才能掌握的两大心智能力的胜利。这两者便是：数学与语言。

登月壮举需要严重仰仗数学，它是一切科学与工程学的基础。登月任务的每一个方面都要不厌其详地计算到细枝末节：飞行到月球的每一阶段需要携带多少燃料；火箭运行时选择什么路径，以免在飞行过程中因修正航线而浪费燃料；着陆时需要多少燃料；离开月球再次启动时又要用去多少燃料；每台发动机需要维持运转多久；需要多少氧气才能使乘员们存活。在最终降落阶段，“鹰”与地面控制中心的对话几乎全是数学语言。几乎不容许有误差存在：当阿姆斯特朗操纵着“鹰”安全着陆时，剩下的燃料只够使用10秒钟。

由此看来，登月必须依靠数学。但是，语言的作用何在？为什么我要说，登月成功也是语言的胜利？这是因为阿波罗的登月任务是一项规模空前的合作计划，需要成千上万人的通力协作。尽管只有两人在月球上第一次迈出了历史性的脚步，但此项计划所涉及的人员数以千计，遍布于整个北美洲。如果把各跟踪站所配备的人员也算在内的话，还应包括地球上的其他一些地方。把整个团队串连在一起的无形线束便是语言，从而得以协调大家的行动，凝成一股力量。

当然，并不需要登月来让我们想起语言与数学是强有力的工具。这两者早已产生了无数其他成果，不仅改变了人类，而且改变了我们的行星。

本书的主旨之一是想让你们确信：（人类独有的）语言与数学能力是何等的非凡与强大。让我再次引用阿姆斯特朗的话。当登月舱从指令舱中分离出来时（后者将在漫步月球的过程中留在月球的轨道上），阿姆斯特朗宣称：“鹰有了翅膀。”正是语言与数学的技能赐予人类一对展天之翼，从而能高高在上地傲视其他生物。

我的另一个意图是想论证上述两种技能不是分离的，两者可能是由人类大脑的同一部分缔造出来的。

顺着这条思路，我将探索并回答以下问题：确切地说，数学究竟是什么？语言究竟是什么？它们是怎样形成的？我还将研讨人类的第三种显然具备的技能：规划能力，它伴随着复杂的计划，预先的计算，以及视当时的情况发展而作出的各种后续的多元选择。显然，这种技能同我们使用语言与研究数学的能力有着紧密联系。在完成阿波罗登月的各项任务中，它同样起着非常重要的作用，每一个细节都预先经过仔细计算，每一种可能发生的意外事件都得仔细考虑。

例如，主飞行计划要求飞船上的计算机操纵“鹰”在起飞前数月就定好的地点着陆。然而，具体实施时，登月的乘员们看到选定的地点崎岖不平，且充斥着砾石。当他们向月球表面降落时，阿姆斯特朗果断地把计算机搁在一边，让飞行器人工着陆。人工着陆的可能性事先就被考虑到了，而且阿波罗号上的乘员们已经进行了这种训练。

最后提到的这种人类能力——设想未来将可能有几种不同的进程，并为其设计相应的应对方案——本质上是另外两种能力（数学与语言）的起源。因而可以证明，在所有能力中，它是最为重要的。

数学基因？

在正文开始之前，我需要讲清楚一点：在人类的DNA中，不存在赋予我们数学能力的一段特定的序列，“数学基因”不是从这个意义上来说的。当然，的确有一些基因可以影响我们搞数学的能力。但书名中的“数学基因”，不过是简单地采用了一种普通的比喻手法。粗略地说，我所谓的“数学基因”，意思是指“一种内在的数学思维技能”，就像某些作者有时会用“语言基因”来泛指我们所固有的获取与使用语言的技能。当然，这两种技能都是由遗传决定的（至少部分如此），我们的其他一切技能也都几乎如此。不过，谈到一个关于数学的“基因”时，那纯粹是个比喻而已，犹如我们读到“一个关于××的基因”时一样。

我提出的你拥有数学基因的论点（即你拥有内在的搞数学的技能），其实指的就是：你天赋的语言素质恰好就是你搞数学所需要的能力。目前，很可能你能够将母语运用自如，但对自己的数学能力却缺乏自信。事实上，正如数以百万计的你的同时代人一样，你可能患上了“数学恐惧症”。因此，为了证明我的看法，我将解释清楚何以许多人好像不会使用那些我断定他们应该拥有的基本能力。我所给出的部分解释是，绝大多数人并不真正了解什么是数学。所以我也必须解释一下数学家（像我这样的人）眼中的“数学”是什么。它不仅仅是数字与算术。一旦你真正了解了数学究竟是什么，并懂得了我们的大脑怎样创造出语言，你就会对“以数学方式思考只不过是使用我们的语言能力的一种特殊方式”这种看法毫不奇怪了。

公元2000年的最佳科学图书之一。

——《发现》

通过明确而有说服力的分析，德夫林提出了一种与通常看法极不一样的观点：各种数学对象之间关系的推理法则与社会人文关系的推理法则在本质上并无二致。

——《美国科学家》

德夫林的著作对我大有启示。究竟是什么东西造就了人类？对此自然之谜抱有兴趣者不可不读本书。

——比克顿（Derek Bickerton），《语言种类》和《语言与人类行为》的作者

德夫林有一个妙不可言的、富有创新精神的观点。通过把数学牢固地植根于人文氛围之中，德夫林作出了一项卓越贡献，有助于我们理解什么是数学的本质，以及我们何以能如此不可思议地熟练运用它。

——沃特海姆（Margaret Wertheim），科普名著《毕达哥拉斯的裤子》（Pythagoras'Trousers）的作者