从赵爽弦图到希尔伯特第三问题，本书讲述了一个跨文化、跨时代的数学故事。书中介绍了不同民族、不同时代的数学家对勾股定理、体积理论等问题锲而不舍的探索和殊途同归的贡献，使我们看到了中外数学家对相同问题所展现的东西异趣而又富有启迪的智慧，看到了现代数学知识的多种文化来源。

数学文化小丛书精选对人类文明发展起过重要作用、在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面有某种里程碑意义的主题，深入浅出地介绍数学文化的丰富内涵、数学发展史中的一些重要篇章以及一些著名数学家的历史功绩和优秀品质等内容，适于包括中学生在内的读者阅读。

一、赵爽弦图

 弦图证明勾股定理

 商高答周公

 陈子与勾股定理一般形式

 勾股定理与量天测地

二、勾股定理证明异趣

 古代传说

 从毕达哥拉斯到欧几里得

 从刘徽到关孝和

 总统的证明及其他

三、出入相补原理

 运用出入相补原理的杰作

 花拉子米与出入相补原理

四、体积计算东西谈

 刘徽的“阳马术”与欧几里得的“魔鬼阶梯”

 球体积——阿基米德与祖冲之

五、希尔伯特第三问题

 高斯的抱怨

 希尔伯特的猜测

 德恩反例

 现代体积理论的发展

参考文献

现代体积理论的发展

希尔伯特第三问题是希尔伯特在1900年巴黎国际数学家大会上提出的23个数学问题之一，因排列第三而名。这23个问题是希尔伯特总结以往数学研究的成果和发展趋势而提出，它们涉及现代数学的许多领域，其研究有力地推动了20世纪数学的发展。

就第三问题而言，它是最先获解的希尔伯特数学问题。据说德恩宣告解决这一问题时，希尔伯特《数学问题》的演讲全文还在印刷之中。德恩的解答激发了数学家们对体积理论的新的兴趣。他的理论随后被其他数学家进一步发展和完善了。其中突出的结果，如西德勒(J-P.Sydler)1943年证明了空间情形剖分相等与拼补相等概念的等价性；1965年证明了德恩条件不仅是两多面体剖分相等的必要条件，同时也是充分条件(德恩一西德勒定理)。特别是20世纪50年代出现的瑞士几何学家哈德威格(H.Hadwiger)等的系统成果，用更现代的方法处理并深化了德恩的理论，同时将其推广到n维空间。所有这些工作都使体积理论获得了比以往更稳固的基础。

德恩解决希尔伯特第三问题时年仅22岁，他后来的研究兴趣从几何基础转向代数拓扑。代数拓扑学在当时是一个新兴的领域，1907年德恩与赫格(P.Heegaard)联名发表于《数学科学百科全书》的论文《位置分析》，是该领域早期较为系统的贡献。代数拓扑学的重要课题是寻求曲面(或一般流形)在连续变换下保持不变的所谓“不变量”，而在希尔伯特第三问题的解决中发挥了重要作用的“德恩不变量”，与此不无相通之处。德恩1922年成为法兰克福大学教授。也许是受希尔伯特的影响，德恩主张科学的多元文化来源。他是著名的法兰克福数学史讨论班的主要组织者之一，这个讨论班研究不同文化的经典数学文献，为此德恩还专门学习过中文。法兰克福数学史讨论班从1921年延续到1935年，韦依(A.Weil)、西格尔(C.L.Siegel)等都是其重要成员。1938年以后，希特勒排犹风潮尘嚣甚上，德恩被迫举家逃亡，辗转丹麦、挪威等地，1941年，已经年逾花甲的德恩移居美国。

希尔伯特第三问题表面上似乎只是寻求反例的初等几何问题，但希尔伯特是在他发表《几何基础》这部重要著作之后提出这一问题的，其深刻用意，就是想推动现代体积理论的发展。在这个意义上，通过第三问题的解决，希尔伯特的初衷可以说是基本实现了。

希尔伯特是20世纪最卓越的数学家之一。他1862年生于以“哥尼斯堡七桥问题”而闻名于数学史的德国哥尼斯堡城(今俄国境内加里宁格勒)，1895年来到高斯长期执教的格丁根大学，并与另一位著名德国数学家克莱茵携手将格丁根建成为蜚声世界的数学中心。希尔伯特的《几何基础》已成为现代公理化方法的经典之作，他能以空前严格的眼光追根穷底、探究多面体体积的奥秘并提出“第三问题”，从而奠定现代体积理论的基础，这是不奇怪的。希尔伯特的数学贡献当然远不止于几何基础。他的典型研究风格是直攻重要的数学问题，从中寻找带普遍性的方法。用这种方式，希尔伯特在几何基础、代数数论、积分方程与变分法、数理逻辑、理论物理等众多的领域里作出了历史性的贡献。正是通过自己数学研究的切身体会，希尔伯特认识到在科学研究中问题的重要意义，恰如他在提出其影响深远的23个数学问题的巴黎演讲中所指出的那样：

“正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。”“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”

除了杰出的学术成就，希尔伯特作为一位正直的、坚持正义的学者，在国际科学界也受到普遍的尊敬。这里特别要提到的是他在科学上的国际主义精神。希尔伯特始终认为数学是不分民族、没有国界的文化，因而反对一切政治的、种族的和传统的偏见，强调广泛的学术文化交流。在第一次世界大战初，他冒着极大的个人风险拒绝在德国政府的战争“宣言”上签名；第二次世界大战期间，他对希特勒的排犹运动表示了无比的愤慨和抵制，这种疯狂的种族主义使一个硕果累累的国际性学派——希尔伯特亲手缔造的格丁根数学学派遭受了致命的打击。

从古代出入相补原理到现代体积理论，我们讲述了一个跨文化、跨时代的故事，我们看到了不同民族不同时代的数学家对同一些问题的关注、锲而不舍的探索和富有启迪的智慧；看到了现代数学知识的多种文化来源；看到了中国古代数学家对这些问题的卓越贡献。我们以希尔伯特说过的话来结束这个故事：

“对于数学来说，整个文明世界就是一个国家！”

“我们必须知道，我们必将知道！”

P59-62

整个数学的发展史是和人类物质文明和精神文明的发展史交融在一起的。数学不仅是一种精确的语言和工具，不仅是一门博大精深并应用广泛的科学，而且更是一种先进的文化。它在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，是人类文明的一个重要支柱。

要学好数学，不等于拼命做习题、背公式，而是要着重领会数学的思想方法和精神实质，了解数学在人类文明发展中所起的关键作用，自觉地接受数学文化的熏陶。只有这样，才能从根本上体现素质教育的要求，并为全民族思想文化素质的提高夯实基础。

鉴于目前充分认识到这一点的人还不多，更远未引起各方面足够的重视，很有必要在较大的范围内大力进行宣传、引导工作。本丛书正是在这样的背景下，本着弘扬和普及数学文化的宗旨而编辑出版的。

为了使包括中学生在内的广大读者都能有所收益，本丛书将着力精选那些对人类文明的发展起过重要作用、在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面有某种里程碑意义的主题，由学有专长的学者执笔，抓住主要的线索和本质的内容，由浅入深并简明生动地向读者介绍数学文化的丰富内涵、数学文化史诗中一些重要的篇章以及古今中外一些著名数学家的优秀品质及历史功绩等内容。每个专题篇幅不长，并相对独立，以易于阅读、便于携带且尽可能降低书价为原则，有的专题单独成册，有些专题则联合成册。

希望广大读者能通过阅读这套丛书，走近数学、品味数学和理解数学，充分感受数学文化的魅力和作用，进一步打开视野，启迪心智，在今后的学习与工作中取得更出色的成绩。

李大潜

2005年12月