近世代数(又名抽象代数)是现代数学的重要基础，在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用，是现代科学技术人员所必需的数学基础。本书介绍群、环、域的基本理论与应用。适用于数学与应用数学、计算机科学、无线电、物理、化学、生物医学等专业的本科生、研究生以及专业人员。

近世代数(又名抽象代数)是现代数学的重要基础，在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用，是现代科学技术人员所必需的数学基础。本书介绍群、环、域的基本理论与应用。适用于数学与应用数学、计算机科学、无线电、物理、化学、生物医学等专业的本科生、研究生以及专业人员。

第1章引言和预备知识1

1.1几类实际问题1

 1. 一些计数问题1

 2. 数字通信的可靠性问题与保密性问题5

 3. 几何作图问题7

 4. 代数方程根式求解问题8

 习题1.1 8

1.2集合与映射9

 1. 集合的记号9

 2. 子集与幂集9

 3. 子集的运算10

 4. 包含与排斥原理10

 5. 映射的概念12

 6. 映射的分类13

 7. 映射的复合15

 8. 映射的逆16

 习题1.2 17

1.3二元关系18

 1. 二元运算与代数系统18

 2. 二元关系19

 3. 等价关系、等价类和商集19

 4. 偏序和全序22

 习题1.3 24

1.4整数与同余方程24

 1. 整数的运算25

 2. 最大公因子和最小公倍数25

 3. 互素29

 4. 同余方程及孙子定理29

 习题1.4 34

第1章小结35

第2章群论37

2.1基本概念37

 1. 群和半群37

 2. 关于单位元的性质39

 3. 关于逆元的性质39

 4. 群的几个等价性质40

 习题2.1 45

2.2子群45

 1. 子群45

 2. 元素的阶48

 习题2.2 49

2.3循环群和生成群，群的同构50

 1. 循环群和生成群50

 2. 群的同构51

 3. 循环群的性质53

 习题2.3 54

2.4变换群和置换群，Cayley定理55

 1. 置换群56

 2. Cayley定理60

 习题2.4 62

2.5子群的陪集和Lagrange定理62

 1. 子群的陪集62

 2. 子群的指数和Lagrange定理64

 习题2.5 66

2.6正规子群和商群67

 1. 正规子群的概念67

 2. 正规子群的性质68

 3. 商群69

 4. 单群71

 习题2.6 71

2.7共轭元和共轭子群72

 1. 中心和中心化子72

 2. 共轭元和共轭类73

 3. 共轭子群与正规化子74

 4. 置换群的共轭类75

 习题2.7 78

2.8群的同态79

 1. 群的同态79

 2. 同态基本定理80

 3. 有关同态的定理82

 4. 自同态与自同构85

 习题2.8 86

2.9群对集合的作用，Burnside引理87

 1. 群对集合的作用87

 2. 轨道与稳定子群88

 3. Burnside引理90

 习题2.9 92

2.10应用举例92

 1. 项链问题93

 2. 分子结构的计数问题96

 3. 正多面体着色问题97

 4. 开关线路的计数问题98

 5. 图的计数问题99

 6. RSA密码系统的加密与解密变换101

 7. 二次同余方程102

 习题2.10 104

2.11群的直积和有限可换群104

 1. 群的直积104

 2. 有限可换群的结构105

 习题2.11 108

2.12有限群的结构，Sylow定理108

 1. p子群与Sylow p子群109

 2. Sylow定理109

 习题2.12 112

第2章小结112

第3章环论116

3.1环的定义和基本性质116

 1. 环的定义116

 2. 环内一些特殊元素和性质118

 3. 环的分类120

 习题3.1 121

3.2子环、理想和商环123

 1. 子环123

 2. 生成子环和生成理想126

 3. 商环126

 习题3.2 128

3.3环的同构与同态129

 1. 同构与同态129

 2. 有关同态的一些定理130

 3. 分式域132

 习题3.3 133

3.4整环中的因子分解134

 1. 一些基本概念134

 2. 既约元和素元135

 3. 最大公因子135

 习题3.4 137

3.5惟一分解整环137

 1. 惟一分解整环及其性质137

 2. 主理想整环139

 3. 欧氏整环141

 习题3.5 142

3.6多项式分解问题143

 1. 本原多项式及其性质143

 2. D［x］的分解性质144

 3. 多项式的可约性判断146

 习题3.6 148

3.7应用举例148

 1. 编码问题148

 2. 多项式编码方法及其实现149

 习题3.7 153

第3章小结153

第4章域论155

4.1域和域的扩张，几何作图问题155

 1. 域的特征和素域155

 2. 扩张次数，代数元和超越元157

 3. 添加元素的扩张158

 4. 代数扩张与有限扩张159

 5. 几何作图问题160

 习题4.1 163

4.2分裂域，代数基本定理164

 1. 分裂域164

 2. 代数基本定理168

 习题4.2 169

4.3有限域，有限几何170

 1. 有限域的构造及惟一性170

 2. 有限域的元素的性质172

 3. Zp\\[x\\]中多项式的根174

 4. 有限域的子域175

 5. 有限域的自同构群175

 6. 有限域上的元素和多项式的性质176

 7. 有限几何177

 习题4.3 180

4.4单位根，分圆问题181

 1. 单位根181

 2. 分圆问题182

习题4.4 185

第4章小结185

第5章方程根式求解问题简介188

5.1多项式的Galois群189

 1. 域和多项式的Galois群189

 2. 多项式的Galois群的置换表示190

 3. 多项式的Galois群的阶191

 4. 多项式的Galois群的计算192

 习题5.1 194

5.2群的可解性和代数方程的根式求解问题194

 1. 群的可解性194

 2. 可解群的性质196

 3. 代数方程的根式可解性197

 习题5.2 198

第5章小结198

附录其他代数系简介199

1. 格与布尔代数199

2. 模的概念及例201

3. 代数201

习题202

习题提示与答案203

符号索引218

名词索引220

参考文献223