本书的撰写旨在系统地介绍和讨论 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 积分方程的基本理论、 方法和应用。 通过深入剖析 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 积分方程的数学特性和解法， 我希望能够为读者提供一个全面而且深入的推理过程。 本书内容主要分为七个章节， 包含五个主要部分。基于 Ｋｒｉｇｉｎｇ 插值代理模型， Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的插值解在大雷诺数下通过 Ｃｏｌｅ－Ｈｏｐｆ 变换可获得 Ｂｕｒｇｅｒｓ 方程 Ｃａｕｃｈｙ 反问题的插值解。

本书基于H-Hk结构，系统分析了Fredholm方程的解可能存在的情形，并获得其最小范数解析解。基于Kriging模型，获得了Fredholm方程的最小范数插值解及其不确定性估计，并提出自适应的很优序贯选点策略，确保了插值解的准确性和稳定性。基于高斯过程回归模型，获得了与Tikhonov正则化方法相似的最小范数正则解及其不确定性估计。最后，本书还推广了Picard 定理并可用于求解一般的Fredholm方程。本书适用于数学相关专业学生与科研工作者阅读。

１ 绪论 ／ １ １. １ 研究背景 ／ １ １. １. １ 耗散结构与 Ｂｕｒｇｅｒｓ 方程 ／ １ １. １. ２ 相变机理与不确定性 ／ ４ １. ２ 国内外研究现状 ／ ５ １. ２. １ 耗散系统 Ｂｕｒｇｅｒｓ 方程及其反问题 ／ ５ １. ２. ２ 第一类 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 积分方程 ／ ６ １. ２. ３ 正则化方法 ／ ８ １. ２. ４ 有限维逼近方法 ／ ９ １. ３ Ｈ－Ｈｋ 结构与代理模型 ／ １０ １. ３. １ Ｈ－Ｈｋ 结构 ／ １０ １. ３. ２ 代理模型 ／ １１ １. ４ 关键问题 ／ １３ １. ５ 结构安排与创新点 ／ １４ １. ５. １ 结构安排 ／ １５ １. ５. ２ 主要创新点 ／ １７ ２ 基于 Ｈ－Ｈｋ 结构的算子型最小范数解析解 ／ １９ ２. １ 退化核方程的解析解 ／ １９ ２. ２ 可解 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的算子型最小范数解析解 ／ ２１ ２. ３ 投影可解 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的算子型最小范数解析解 ／ ２４ ２. ３. １ 再生核 Ｈｉｌｂｅｒｔ 空间 ／ ２４ ２. ３. ２ 平方可积空间 ／ ２５ ２. ３. ３ 值域空间的再生核延拓 ／ ２６ ２. ４ 算例分析 ／ ２８ ２. ４. １ 退化核 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的解析解 ／ ２８ ２. ４. ２ 非退化核 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的解析解 ／ ３０ ２. ５ 小结 ／ ３１ ３ 基于 Ｋｒｉｇｉｎｇ 插值模型的最小范数插值解 ／ ３３ ３. １ Ｋｒｉｇｉｎｇ 插值模型 ／ ３３ ３. ２ Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的最小范数插值解及其不确定性估计 ／ ３７ ３. ２. １ 最小范数插值解 ／ ３７ ３. ２. ２ 收敛性分析 ／ ４０ ３. ３ 基于最小化优选不确定性的序贯试验设计 ／ ４２ ３. ４ 基于序贯设计求解退化核 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的最小范数解 ／ ４３ ３. ５ 算例分析 ／ ４５ ３. ５. １ 退化核 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的序贯选点过程 ／ ４５ ３. ５. ２ 非退化核 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的序贯选点过程 ／ ４８ ３. ６ 小结 ／ ５５ ４ 基于高斯过程回归模型的最小范数正则解 ／ ５６ ４. １ 正则化方法 ／ ５６ ４. ２ 高斯过程回归模型 ／ ５７ ４. ２. １ 贝叶斯线性回归 ／ ５７ ４. ２. ２ 高斯过程回归 ／ ５８ ４. ３ Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的最小范数正则解及其不确定性估计 ／ ６１ ４. ３. １ 最小范数正则解 ／ ６１ ４. ３. ２ 收敛性分析 ／ ６３ ４. ３. ３ 正则化参数 ／ ６６ ４. ４ Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的可解性及其刻画 ／ ６７ ４. ５ 算例分析 ／ ６８ ４. ６ 小结 ／ ７３ ５ 基于高斯过程回归模型的有限维逼近解 ／ ７４ ５. １ Ｐｉｃａｒｄ 定理 ／ ７５ ５. １. １ 对称核 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程 ／ ７５ ５. １. ２ 非对称核 Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程 ／ ７７ ５. ２ Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的级数型最小范数解析解 ／ ７７ ５. ２. １ 最小范数解析解 ／ ８１ ５. ２. ２ 最小范数插值解 ／ ８１ ５. ３ Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 方程的有限维逼近正则解及其收敛性 ／ ８２ ５. ４ 算例分析 ／ ８７ ５. ５ 小结 ／ ８９ ６ Ｂｕｒｇｅｒｓ 方程算例分析 ／ ９１ ６. １ 耗散系统 Ｂｕｒｇｅｒｓ 方程 ／ ９１ ６. ２ Ｂｕｒｇｅｒｓ 方程 Ｃａｕｃｈｙ 反问题 ／ ９３ ６. ２. １ Ｃａｕｃｈｙ 反问题的插值解 ／ ９３ ６. ２. ２ 经典算例分析 ／ ９５ ６. ３ 小结 ／ １０１ ７ 总结 ／ １０２ 参考文献 ／ １０４